为了追随我的兴趣，我在伦敦开始攻读博士学位。我的博士生导师克里斯·温德尔（Chris Wendell）当时在伦敦，但后来他搬到了柏林。因此我在伦敦读了两年•△，然后在柏林读了两年，然后我开始了我的研究。

　　我认为这真的很棒。因为一般来说，没有那种平衡，大多数数学社区都没有这种平衡。

　　我的意思是★◆●，新的国家、新的人民、新的文化、新的世界、新的宇宙、新的一切。你可以在地球上的任何地方做数学●●●。

　　对我来说最大的发现是，我和班上的其他几个人被我们的数学老师一起送到当地的数学奥林匹克竞赛。

　　此时得到3种不同类型的气泡界面，而这种形状是由最小化过程控制的。保罗正在努力理解这种表面积最小化的精细几何结构=★▼，并且能够证明泡泡表面的奇点实际上并不是完全任意的■▼▪，因为奇点确实具有一些几何结构，在几何上是自然的。

　　John C. Urschel（约翰·厄舍尔）对线性代数、数值分析和图论感兴趣，研究课题包括特征值算法、谱图论和行列式点过程。John Urschel 从事线性代数，特别是矩阵分析△。他分享了他从 NFL 到数学职业生涯的旅程，他在为巴尔的摩乌鸦队（Baltimore Ravens）效力期间的休赛期在麻省理工学院攻读博士学位。现在从NFL退役，Urschel能够完全专注于数学。

　　当我十几岁的时候，我的成绩很好，但我的出勤率并不高。我的学校靠近海滩■，这太诱人了。

　　我一直在努力尝试理解有关高斯消元法（Gaussian elimination）的一些有趣的理论问题△。

　　当时发生的事情■●，大约是在2004年，一个非常激动人心的时刻，机器学习和认知科学以一种有趣的方式融合在一起。 因此，这显然是正确的选择•，因为你可以将机器学习的严谨性和适用性结合到认知科学研究和更广泛的学习中。

　　孩提时期△，卡利亚尼在学校表现很好，但在任何事情上并无出色之处，尤其数学绝对不算出色。

　　IAS数学学院成员（2021 ~ 2023）、罗格斯大学数学和计算机科学教授帕特里克·沙夫托（Patrick Shafto）使用概率机器学习、最优运输和行为研究的技术从事机器学习、人类学习和合作。帕特里克在东北大学意外地开始学习物理治疗如何最终导致了他目前的研究=◆◆，该研究探索了人类学习和机器学习的交叉点=。

　　朴珍英研究随机离散结构的阈值现象。她致力于识别这种随机网络中的模式和典型结构。

　　卡利亚尼·坎萨尔（Kalyani Kansal）对算术几何和数论有着广泛的兴趣。在 IAS■★，她的工作重点是p进朗兰兹（p-adic Langlands） 和Galois表示的模栈（moduli stack）△-。朗兰兹纲领，是一系列猜想，最初是1967年1月IAS名誉教授罗伯特·P·朗兰兹（Robert P. Langlands，1936 -）写给安德烈·韦伊（André Weil=△★，1906 - 1998）的一封信中描述的，可以视为一种宏大的数学统一理论◆•。

　　我想说的是，我一直对数学感兴趣，但我认为随着年龄的增长，尤其是在高中左右，我开始踢足球。

　　Jinyoung Park（朴珍英◆-▪，박진영，1982 -） 是家里第一代大学生（即父母没有大学学历），在韩国担任七年中学教师后，她在罗格斯大学继续深造获得数学博士学位。

　　在高中期间，我还受到了另一个非常强烈的影响，我开始参加莫斯科大学的研究研讨会。

　　我非常珍惜在办公室的时间。在我所拥有的时间里，我尽力产出尽可能多的作品。

　　这很大程度上是由于我所选择的几位讲师和教授的影响，但我在三年内完成了数学学位。所以我在想，在完成学位后留在宾夕法尼亚州立大学的方式-▼•。好吧，我只是用获得数学硕士学位来填补我提前毕业以来的时间。

　　你知道，我们这里有很多年轻的科学家，我认为在IAS最好的部分肯定是与这些人合作★，并一起开始新的数学之旅。

　　他认为自己不是以任何直接的方式接触数学的•，他对这个世界和事物的运作方式感到非常困惑•，于是去学校问老师，“我可以把课本从学校带走吗•●=？可以把它们带回家吗？”他就是这样学习大部分GCSE课程并在家更加独立地完成学习的▪=△。

　　它涉及像卫星这样的小质量物体在行星和月球这样的两个大质量物体的影响下的运动。

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　　描述这种神奇隧穿的一种方式是通过在虚时间（imaginary time）中旅行的粒子。

　　即使我尝试了 99 件事●，每件事都失败了，我仍然会尝试第 100 次。保持好奇心。

　　在德国奥格斯堡，我跟着Kai Cieliebak开始了第一个博士后。他是我一直以来最喜欢的人之一。我从他那里不仅学到了很多关于 H 原理以及弦拓扑的知识★，而且我还学会了如何成为一个更好的人。

　　但对我来说，数学仍然是一种艺术形式，也是一种科学形式，它从来都不是一条线性的道路。

　　她有时你扮演着我的第二个母亲的角色。然后我开始学习工程学•，因为我不知道在乌拉圭哪天可以在数学方面做得很好，直到我知道可以●-△，然后我有点爱上了它。

　　所以宾夕法尼亚州立大学橄榄球队最终向我提供了一份全额奖学金，让我去那里打大学橄榄球=。

　　希拉·坦尼（Shira Tanny）主要研究辛几何和哈密顿动力学…•■。她对Floer型理论和伪全纯曲线（pseudoholomorphic curve）在动力学问题中的应用特别感兴趣。

　　最小化面积的结构在许多几何背景下出现，通常与退化现象相关。反过来，在许多情况下•，这些结构也以某种方式反映了环境几何（ambient geometry）（它们被“校准”），因此它们可能提供了研究几何与拓扑之间相互作用的途径，这在几何学中的变分方法历史上一直是如此。

　　足球实际上在很多方面帮助了我的数学生涯。你知道，在足球场上你不断受到挑战。每一天你都会被击倒●△，你必须站起来并不断反击，你就会建立这种弹性感△■。

　　“如果有人因此而受到更多鼓励去追求数学，我会觉得这是一项巨大的成就。▪”卡利亚尼说•=。

　　而数学是克服挑战的工具。即使不能成为正式学生△•…，莫斯科大学也举办了所有这些研讨会，每个人都受欢迎参加，这是非常民主的。

　　斯维特拉娜在IAS普林斯顿高等研究院数学学院成为冯·诺依曼研究员，她的工作位于偏微分方程、调和分析和几何测度论的交叉点，阐明了出现在自然世界中或有一天可能应用于自然世界的几何模式。

　　这就是我进入数学博士课程的方式•△=。在学习数学或追求我的数学职业生涯中存在很大的障碍，这就是我自己-，因为你知道我就是无法停止。

　　卡利亚尼·坎萨尔喜欢数学这个领域是因为模式★。她说：“对我而言•，我认为数学就是模式。从某种意义上▼，当你连接不同类型的东西时，你在自然规律上扩展了你的思维。”

　　当我在中学时，我对他们来说不是一个很好的数学学生，我想也许我可以改变我学习数学的方式。

　　“IAS令人惊奇的事情之一是，周围都是纯粹的灵感渗透进来。有些人做了一些非常扎实的数学工作•=◆，和他们在一起真是鼓舞人心，而你被提醒应该对自己施加多大的压力★。很多情况下做好的数学并不是为了找到好的答案，而是首先找到很好的问题。”

　　小时候我有很多不同的兴趣，但我不确定什么会更吸引我。数学在学校相当无聊，因为它涉及到在相同的公式中插入数字-…=。

　　谢尔盖·切尔基斯（Sergey Cherkis），尝试理解瞬子。与经典力学中的粒子不同，量子粒子可以通过在虚时间内行进来穿过障碍。通过结合他的数学和物理知识◆△，谢尔盖正在努力理解这种奇特的行为。他构建了规范场论方程的解，并研究了经典规范场论和量子规范场论中出现的模空间（moduli space）▼。他对hyperkähler超凯勒几何和特殊holonomy和乐流形（special holonomy manifold，其中holonomy又译为完整群）特别感兴趣。

　　我想，哎★，我太老了，起步太晚了，或者我在大学里没有学到足够多的数学知识。

　　乌克兰数学家斯维特拉娜·梅博罗达（Svitlana Mayboroda）最初对自己的职业道路犹豫不决•▪●。她本来打算做生意，直到有机会去美国攻读数学研究生课程。从那时起△，对知识和经验的追求一直引导着斯维特拉娜●…◆。

　　我觉得，如果不是对数学的额外关注…◆，我不确定我现在会在研究所，实现数学家的梦想。

　　“通常发生的情况是•，你可以找到一种理论来解释大多数情况，但不能解释所有情况•。这很重要●，这是一个起点。■”

　　那时候尽我所知，我不认识任何一个拥有博士学位的人。因此，我无法理解以数学为生的整个想法。于是我有点远离了数学，我找不到可以告诉我数学有什么好处的人■◆。

　　而在量子力学中，粒子具有量子隧穿（quantum tunneling）这种特殊性质。

　　对保罗来说，在IAS最有意义的部分就是与这里所有的人（无论是博士后，还是研究院的其他人）互动▪。

　　我在高中时的最后一年有一位很棒的数学老师叫安娜·索尼娅（Ana Sonia）-…。

　　我对刚开始学习数学的人的建议是找到使用它的方法，了解它的好处•●，因为确实有大量数学可以应用到尚未应用的问题。

　　因为我认为花在攻读博士学位上的额外时间，以及花在学习更多数学=-●、做更多事情上的额外时间•▼，确实带来了回报。

　　★▼“他非常慷慨地提出了一个完全随机的想法▼：当我进行精神病学研究时▼，我应该去上数学课。给我上课的系里所有的数学教授都非常支持我。而史蒂夫·威尔逊（Steve Wilson），我的第三位教授，为我提供了进入数学系的选择。于是第二年我开始攻读数学博士学位。”

　　许多不同的问题都涉及线性代数，更具体地说是矩阵，这可以横跨求解线性系统或特征值问题。

　　她在约翰·霍普金斯大学从事精神病学博士后工作，开始参加数学系的数学课程。=“第一个真正允许我探索对数学萌生兴趣的人是我的精神病学博士后导师Chiadi Onyike”，卡利亚尼说。

　　我只是模糊地认为，如果我能做一些与数学相关的事情作为我的工作，我会很好。

　　但一旦我开始研究这个问题，我就清楚地意识到，有必要用数学来准确地表达你所声称的学习如何运作=◆△。 所以，那是我顿悟的时刻★▪…，“好吧，我确实需要比现在更加积极地追求这一点。” 就这样，漫长的数学之路开始了…。

　　所以，当时这是一个以体力活为主的社区▼-▪，人们在这儿从事体力劳动类型的工作或捕鱼等类似的事情。

　　我研究辛几何（symplectic geometry），这是纯数学的一个领域，是从经典力学中产生的▪-。

　　Jinyoung的故事表明-，各个教育阶段榜样的重要性▼，以及重新开始永远不会太晚的事实…。

　　“自从来到普林斯顿和高等研究院之后，我的世界在结识人和互动方面发生了爆炸性变化。与有特殊需要的兄弟姐妹一起长大，有助于你以不同的方式看待世界■★。我学会了更加了解别人，了解他们的需求与其他人有何不同。要始终保持开放的心态，保持冷静，并尽自己所能为大家提供支持。”•◆，保罗说道。

　　2023年，朴珍英因在解决有关阈值和选择器过程的几个主要猜想方面做出的贡献而获得玛丽亚姆·米尔扎哈尼新前沿奖（Maryam Mirzakhani New Frontiers）。2024年，她与合著者Huy Tuan Pham一起获得了德奈什·柯尼希奖（Dénes König Prize）。

　　有那么一刻，我想：哦，我真的想要成为一名深刻的数学家。之后，我对数学变得越来越认真。是的，我认为榜样对人们来说非常重要。

　　以及作为一名音乐家怎样烤排骨和喝啤酒，我认为这肯定影响了我研究数学的方式●■★。

　　在成长过程中，我一直非常喜欢数学。但在我即将上大学的某个时刻，我对我接受教育后最终会做什么有点迷茫。

　　你可能想知道=▪▪，为什么我们需要数学来解决这个问题？有一个非常实际的答案，那就是，我们想让这些机器在社会中发挥作用，我们希望能够对长期后果可能是什么有某种程度的了解▪▼■。如果没有强大的数学基础，你真的无法轻易做到这一点。

　　我来自乌克兰◆△=。我在一所普通的社区学校上学，没什么特别的，没有特别注重学业成绩或类似的事情。我设法进入了一所非常好的高中。

　　我现在的导师是赫尔穆特·霍弗（Helmut Hofer），他是一个白发聪明的德国人。他是我的学术祖父，正如我喜欢这么称呼他，我的意思是我从他那里学到了很多东西■△，从处理学术政治和申请工作●●，

　　因此数学不仅是任何背景的任何人都可以展示自己并克服各种偏见证明自己的地方，而且它也是我们所有人都可以认同并沟通的语言。

　　当我上学时，数学只是众多科目中的一门。我对它并没有特别感兴趣。当我开始读大学的时候，我试着不去做一个认真的学生。然后我发现如果我想继续成功，我需要成为一名认真的学生。

　　我去了数学系，同时又去了商学院，并且我都毕业了。所以我拥有数学和金融学位。

　　▼“但要真正理解任何事情，你必须注意那些边缘情况。你必须找出一个适合它们的理论，而我想这就是福尔摩斯曾经说过的话-。华生说，‘哦，案件变得越来越困难，因为有太多随机的事情，我无法适应他们。’ 而夏洛克·福尔摩斯则说，‘相反=★▪，它变得越来越简单，因为任何适合它们的解释都必须是正确的•-▼，可能适合所有数据的解释越来越少’。对于很多数学来说，这可能是正确的•-，因为有如此多的观察结果，如果你找到一个可以解释其中很多观察结果的理论，那么这就是你正在寻找的东西。”

　　Almgren（小弗雷德里克·贾斯汀·阿尔姆格伦，1933 - 1997）发展了一种理论，建立了这些面积最小化结构是一个余维数为2的“奇异集”之外的流形的事实=▼。然而，奇异集本身仍然相当神秘：是否必然具有局部有限测度▼、唯一切线锥或几何结构（可矫正性）。本月初（2024-4-8）保罗·明特对此做了一次详细的分享

　　保罗为那些想从事数学事业的人提出了他的建议：•▪…“跟随你感兴趣的事情。数学非常广泛，其中有些内容你会觉得有趣，有些不有趣。肯定需要犯些错误才能学会-••，凡事皆如此★●▼。我认为这不仅仅适用于数学，对于生活的许多方面皆如此◆…。”

　　数学正如象棋，允许任何人进入并证明自己。你的背景★■、你的年龄，这些都不重要，它是一种我们都认可的共同语言■•。证明就是证明，对此没有任何争议。

　　我对年轻数学家的建议是，专注于享受你正在做的事情●…△，专注于享受学习的过程★…，并且不要对你正在做的事情有多好过于担心。对失败想太多…，是你可能犯的最严重的错误，你真正应该尝试做的就是享受学习数学或做数学的过程★。

　　作为一名数学家，奥古斯丁对这种棘手的问题并不陌生。他认为，“韧性和抗失败性”是数学家最基本的美德之一。无论是拉大提琴还是烤排骨，奥古斯丁都欣赏获取和应用新知识的机会和挑战。

　　这种问题是问，某种形状的台球桌什么情况下会出现一个闭合轨道，即台球可以走的一种某段时间后会重复出现的路径。这是一个非常有趣的问题•，主要是因为它很难回答，但很容易陈述。

　　保罗·明特在英国的一个海滨小镇长大•▼。年少时•△，印象中去学校的目的是学习东西，以获得在当地小镇找工作的资格。

　　七年来，我丈夫在美国找到了一份工作，因此我跟随他来到美国，我有足够的时间。我想找到一种方法，以有意义的方式使用它们。

　　于是我买了一本练习册。令人惊讶的是它效果很好，因此当我在高中时，我喜欢上数学•。

　　我有一位名叫里克·汤普森（Rick Thompson）的高中老师。我们当时刚刚完成了一些概率问题，我证明了一些关于平均值的定理，但我并没有真正意识到这就是我正在做的事情。然后我去找他，我对我刚刚证明的东西是新的想法感到非常兴奋。我想我并没有真正意识到数学家就是这么做的-▪。但他知道这一点，所以这让他觉得我对数学感兴趣。

　　当收到剑桥大学的录取通知书时，保罗感觉超越了现实。后来他专攻更纯粹的数学，获得数学学士学位。当完成硕士学位后=●■，他继续在剑桥深造攻读博士学位。在剑桥学习确实很辛苦，必须投入大量的努力和独立学习。

　　Julian Chaidez（朱利安·柴德斯）对辛拓扑▼▼、动力系统、低维拓扑和辛场论感兴趣。在IAS，他研究凸性在Reeb动力学中的作用，通过三分法形成量子4-流形不变量，以及辛几何中的VFC虚拟基本循环（Virtual Fundamental Cycle）方法。

　　当我宣布我想去数学学校时，我父亲强烈反对▼…△，因为需要很长的通勤时间=●★，而且靠近我们房子的学校足够好。这需要我相当多的说服力，我很高兴我成功了▪★△。

　　我想是谁让我来到这里的，是我的学术导师杰夫·卡恩（Jeff Kahn）。

　　这句话的意思是那些害羞的人在学习上会遇到更多困难。所以这句话告诉你应该问问题。如果你不明白或者想到了什么，你应该随时提问-▼。

　　当我在MIT时，我开始真正沉浸在纯数学中，并开始意识到更高水平的数学是什么，你知道，那种研究▼●=，比如寻找真理，提出问题，并通过思考和与人交谈来回答问题。

　　保罗·明特（2023年获得克莱研究奖学金）从事几何分析（geometric analysis）和几何测度理论（geometric measure theory）方面的工作。这两个密切相关的学科-■，涉及截然不同的问题•，但总的想法是人们对理解几何形状和几何对象感兴趣。这些几何形状和几何对象出现在自然界中，典型的例子就是肥皂泡。

　　保罗曾对申请剑桥大学感到沮丧，因为那时身边人没有去剑桥-、牛津或这类高等精英院校的，大家只是想让他也一样“不要对自己的期望太高”。尽管被“劝阻”无法申请精英学校•，但他对数学的热情将他从英国的一个海滨小镇带到了剑桥大学•△，然后进入了IAS。

　　我的另一个爱好是物理，两者之间的艰难选择几乎是为我量身而作■-。在很多方面我的种族身份不太贴合莫斯科大学偏爱的类型。

　　普林斯顿高等研究院IAS有一档优秀的短视频节目《数学之路》（Paths to Math），记录了对一些当代数学家（中青年为主）的简短采访，很有启迪意义，但采访人数不多。

　　但我是第一代大学生（父母没有大学学历），所以我周围没有人真正知道数学家做什么，甚至人们用数学做什么▪▼。

　　他们之中有当了多年中学教师然后去读博攻克数学猜想的，有从医学转专业到数学系的，也有本来打算经商后来从事数学事业的•，也有从NFL退役后专门研究数学的。

　　对我来说，这是一个启示，数学问题可以如此简单地表达出来，这与我在学校看到的任何问题都不一样■，需要我们想出一些技巧来解决它们，之后我就着迷了。我要去参加奥林匹克竞赛，不是为了充分与其他孩子竞争，而是只图享受数学。

　　我是通过一种非常迂回的方式接触数学的。我的父母不是科学界人士，我妈妈是一位编剧，我爸爸是一位音乐家。

　　更严格而言-•-，保罗·明特的数学研究，重点关注黎曼流形中存在严格大于 1 的（整数）重数时最小子流形的正则性和紧致性问题。分支点奇点的局部结构、切锥的唯一性△，以及最小子流形奇点附近的渐近行为是他工作的关键方面。

　　奥古斯丁·莫雷诺（Agustin Moreno）对接触和辛几何以及相互作用（例如数学物理学或哈密顿动力学）有着广泛的兴趣。在IAS，莫雷诺从理论角度对著名的受限三体问题（即考虑3个物体在一个像重力那样的力的影响下的复杂运动）进行了深入的洞察，同时也着眼于空间任务设计等实际应用。

　　当我从东北大学本科毕业时，我留校学习了一年，攻读硕士学位，并确定了我长期要做什么。我了解了认知科学。所以我去和一位教员谈论了研究学习的事情，并成功地在下一年进入了认知科学的博士项目•。

　　“从某种意义上说，我非常幸运▪，我已经有了这种非常独立的心态，我很乐于学习东西…-，花几个小时盯着一篇论文并尝试解决问题•=，这可能是别人最初所不具备的，因为他们在长大和在学校中得到了更多的支持。”保罗说。

　　“我强烈感受到的另一件事是，你看到越来越多的数学家来自不同的背景。所以对我来说，如果我看到女性做数学，就会让我对自己的假设产生巨大的差异。如果有人可以自己想，好吧，你也许不必成为神童，或者你可以晚一点，你可以是女性，或者你可以是任何其他种族或背景。=•”

　　我认为那是真的，我真的很喜欢它的这一方面▼●。当我从MIT毕业时，我已经决心成为一名数学家●△。我申请了研究生院，最终选择去伯克利。在我到达那里之前，我根本没有做研究，我认为这很正常。当我离开时，我觉得我非常清楚做研究的意义。

　　我意识到我错过了数学，就像我错过了学术界一样。所以我申请了博士项目■-，我最终决定选择麻省理工学院。

　　我会在秋季学期参加 NFL 比赛★•，然后在春季学期（对于 NFL 球员来说是淡季），我会在剑桥上课、做习题、与教授交流▪◆。所以我就有了这种双重生活。

　　我认为，数学是扎实的教育，是一件好事，而商业是我一生中真正想做的事情。 我只是决定在研究生院将数学作为我的职业。

　　当我在中学的时候，我实际上在赛道上被降级了△。首先▼△=，我必须说服自己摆脱较低的轨道★▼■，然后当我到达较高的轨道时，我的表现真的还是很糟糕。道格·布勒（Doug Bueller）是我的另一位塑造性老师，他帮助我达到了表现良好的地步，让我更有条理，帮我使得我的作业更整洁，让我更好地表达自己，诸如此类。

　　在秋季学期的第一天，他带我和另外两名博士后共进午餐=■★。然后他告诉我们这个关于闭合轨道的令人着迷的老问题，并建议我们从事于研究它。这基本上就是我们自那以后一直在做的一些事情。所以，现在我们有了一些有望公开的结果。

　　我想应该还有更多当代的全球数学研究机构中的优秀学者值得学和报道▪=，因此加以陆续整理此类国内外辛勤努力奋斗在一线的数学家集锦，以飨广大的数学爱好者及各行业和领域的学者。所有题材均取自官方来源，但仍加以必要的补充说明，使数学家的背景介绍更为完整。

　　只要你这样做，你就会感到快乐和满足。所以我的灵感、我的兴趣主要在于推动纯粹的知识。

　　我当时的男朋友，现在是我的丈夫…，他给了我这些书并建议我阅读它们。Paul Hoffman的《只喜欢数字的人》（The Man Who Loved Only Numbers）和Donal OShea的《庞加莱猜想》（The Poincaré Conjecture）▪●。当我读到它们时，我对数学感到非常兴奋。我发现了数学完全不同的一面。

　　我真正喜欢的是玩积木，建造东西，将形状放在一起-=-，观察在她给我的玩具中看到的形状▼，然后在大的外部世界中认出它们。

　　我获得了数学和物理双学位●△。我喜欢数学的原因之一是你可以在数学上发挥创造力。我们在数学中所做的就是我们拥有的问题或者无人理解也无人解决的东西，而唯一的机会就是寻找新的无人想到的出路。

　　在IAS，保罗接触最多的教员是卡米洛·德·莱利斯（Camillo De Lellis），他是这里数学院的教授。

　　我通过一些研究项目指导本科生，我试图向他们解释数学家们的工作■…•。IAS作为一种资源之所以如此有价值■•，是因为它能够聚集特定领域的一些最优秀的人才。

　　只发现那些尚未真正存在、尚未有人思考过的事物。但有时，数学会被应用于一些非常真实的现象，希望一百年后有更多。保持好奇心●■•！

　　我对年轻数学家的建议是在尽可能多的数学领域暴露自己，与人交谈★••，可以是你觉得相处舒服的研究生，然后真正尝试了解一些不同的背景，这样你就能找到你真正想做的事情。

　　她认为数学是一种感兴趣才会去做的事，是一种工具，而非内禀兴致。那时=◆，她对生物学非常感兴趣。她考进的是医学院，在印度是一种本科学位，而不像美国和加拿大那样。